Question

判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并說明理由．

(1)y＝；

(2)y＝x²－2|x|－1．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由題意3－2x－x2≥0，解得－3≤x≤1， 　　故函數(shù)y＝的定義域是[－3，1]． 　　∵3－2x－x2＝－(x＋1)2＋4， 　　∴由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，此函數(shù)在[－3，－1]上是增函數(shù)，在[－1，1]是減函數(shù); 　　(2)由題意，y＝x2－2|x|－1＝x2－2x－1＝ 　　它的圖象如圖所示，可知此函數(shù)在區(qū)間(－∞，－1和[0，1]上是減函數(shù)，在區(qū)間[－1，0]和－∞，－1)上是增函數(shù)． 　　說明：利用基本函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的圖象是判定函數(shù)單調(diào)性的常用方法．對于(1)，是一個復(fù)合函數(shù)求單調(diào)性的問題，y＝可以看作是由y＝和u＝3－2x－x2兩個函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，由基本函數(shù)的性質(zhì)可以得到復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)． 　　若u＝g(x)在[a，b]上是單調(diào)增(減)函數(shù)，y＝f(u)在區(qū)間[g(a)，g(b)]或[g(b)，g(a)]上是單調(diào)增(減)函數(shù)，那么復(fù)合函數(shù)y＝y(tǒng)＝f[a，b]在[a，b]上一定是單調(diào)函數(shù)，并且有以下結(jié)論． 　　這一規(guī)律類似于我們熟悉的正負(fù)數(shù)的乘法符號法則，事實(shí)上，如果把“增”看成“正”，把“減”看成“負(fù)”，則“正正為正”，“負(fù)負(fù)為正”，分別與“增增為增”，“減減為減”相類似；“正負(fù)為負(fù)”，“負(fù)正為負(fù)”分別與“增減為減”，“減增為減”相類似，這樣一來，就容易記住了． 　　判斷函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)在定義域的范圍內(nèi)，本題易忽視定義域，這將導(dǎo)致解題失誤，因?yàn)閱握{(diào)性是在定義域內(nèi)定義的．

提示：

判斷函數(shù)的單調(diào)性，首先必須確定函數(shù)的定義域，而后在定義域內(nèi)確定單調(diào)遞增、遞減區(qū)間．含絕對值的函數(shù)應(yīng)先將原函數(shù)化為分段函數(shù)，在各自的分段區(qū)間內(nèi)確定遞增、遞減區(qū)間．