Question

【題目】已知橢圓： 的離心率為，且過點， ， 是橢圓上異于長軸端點的兩點.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線： ，且，垂足為， ，垂足為，若，且的面積是面積的5倍，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)3.

【解析】試題分析：

(1)結合題意得到關于a,b,c的方程組，求解方程組可得橢圓的方程是；

(2)將三角形的面積公式進行整理變形，然后聯立直線與橢圓的方程，結合韋達定理得到面積函數，換元之后結合對勾函數的性質可得面積的最大值是3.

試題解析：

（1）依題意解得

故橢圓的方程為.

（2）設直線與軸相交于點 ， ，

由于且，

得， （舍去）或，

即直線經過點，

設， ， 的直線方程為： ，

由即，

， ，

，

令，所以，

因為，所以在上單調遞增，所以在上單調遞增，

所以，所以（當且僅當，即時“”成立），

故的最大值為3.