Question

如圖，過原點O的直線與函數y=（

1

2

）^x的圖象交于A，B兩點，過B作y軸的垂線交函數y=（

1

4

）^x的圖象于C，若AC∥y軸，則點A的坐標為

 

．

Answer 1

考點：指數函數的圖像與性質

專題：函數的性質及應用

分析：先設A（n，2^-n），B（m，2^-m），則由過B作y軸的垂線交函數y=（

1

4

）^x的圖象于點C寫出點C的坐標，再依據AC平行于y軸得出m，n之間的關系：n=

m

2

，最后根據A，B，O三點共線．利用斜率相等即可求得點A的坐標．

解答： 解：設A（n，2^-n），B（m，2^-m），
由4^-x=2^-m=2^-2x，即m=2x，
解得x=

m

2

，即C（

m

2

，2^-m）．
∵AC平行于y軸，
∴n=

m

2

，m=2n，
∴A（

m

2

，2^-n），B（m，2^-m），
又A，B，O三點共線．
∴k_OA=k_OB，
∴

2-n

m 2

=

2-m

m

，
∴n=m+1．
∴

m

2

=m+1，
解得m=-2，
∴n=-1，
∴故點A的坐標是（-1，2）
故答案為：（-1，2）

點評：本題主要考查了指數函數的圖象與性質、直線的斜率公式、三點共線的判定方法等，屬于基礎題．