Question

（2013•重慶）對正整數n，記I_n={1，2，3…，n}，P_n={

m

k

|m∈I_n，k∈I_n}．
（1）求集合P₇中元素的個數；
（2）若P_n的子集A中任意兩個元素之和不是整數的平方，則稱A為“稀疏集”．求n的最大值，使P_n能分成兩個不相交的稀疏集的并．

Answer 1

分析：（1）對于集合P₇ ，有n=7．當k=4時，根據P_n中有3個數與I_n={1，2，3…，n}中的數重復，由此求得集合P₇中元素的個數．
（2）先用反證法證明證當n≥15時，P_n不能分成兩個不相交的稀疏集的并集，再證P₁₄滿足要求，從而求得n的最大值．

解答：解：（1）對于集合P₇ ，有n=7．當k=4時，P_n={

m

k

|m∈I_n，k∈I_n}中有3個數（1，2，3）與
I_n={1，2，3…，n}中的數重復，由此求得
集合P₇中元素的個數為 7×7-3=46．
（2）先證當n≥15時，P_n不能分成兩個不相交的稀疏集的并集．否則，設A和B為兩個不相交的稀疏集，使A∪B=P_n?I_n ．
不妨設1∈A，則由于1+3=2²，∴3∉A，即3∈B．同理可得，6∈A，10∈B．又推出15∈A，但1+15=4²，
這與A為稀疏集相矛盾．
再證P₁₄滿足要求．當k=1時，P₁₄={

m

k

|m∈I₁₄，k∈I₁₄}=I₁₄，可以分成2個稀疏集的并集．
事實上，只要取A₁={1，2，4，6，9，11，13}，B₁={3，5，7，8，10，12，14}，則A₁和B₁都是稀疏集，且A₁∪B₁=I₁₄．
當k=4時，集合{

m

k

|m∈I₁₄}中，除整數外，剩下的數組成集合{

1

2

，

3

2

，

5

2

，…，

13

2

}，可以分為下列3個稀疏集的并：
A₂={

1

2

，

5

2

，

9

2

，

11

2

}，B₂={

3

2

，

7

2

，

13

2

}．
當k=9時，集合{

m

k

|m∈I₁₄}中，除整數外，剩下的數組成集合{

1

3

，

2

3

，

4

3

，

5

3

，…，

13

3

，

14

3

}，
可以分為下列3個稀疏集的并：
A₃={

1

3

，

4

3

，

5

3

，

10

3

，

13

3

}，B₃={

2

3

，

7

3

，

8

3

，

11

3

，

14

3

}．
最后，集合C═{

m

k

|m∈I₁₄，k∈I₁₄，且k≠1，4，9 }中的數的分母都是無理數，
它與P_n中的任何其他數之和都不是整數，
因此，令A=A₁∪A₂∪A₃∪C，B=B₁∪B₂∪B₃，則A和B是不相交的稀疏集，且A∪B=P₁₄．
綜上可得，n的最大值為14．

點評：本題主要考查新定義，集合間的包含關系，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．