Question

已知雙曲線與橢圓有公共的焦點為F₁（0，-4），F₂（0，4），它們的離心率之和為

14

5

，P為橢圓上一點，△PF₁F₂的周長為18
（1）求橢圓的離心率和橢圓的標準方程．
（2）求雙曲線的標準方程．

Answer 1

分析：（1）由于橢圓焦點為F（0，±4），離心率為e=

4

5

求出 a，b，c．最后寫出橢圓的離心率和橢圓的標準方程；
（2）由于雙曲線的焦點為F（0，±4），離心率為2從而求得其參數a，b，c．最后寫出雙曲線方程即可．

解答：解：（1）由于橢圓焦點為F（0，±4），離心率為e=

4

5

（3分）
橢圓的標準方程為為

y2

25

+

x2

9

=1（6分）
（2）由于雙曲線的焦點為F（0，±4），
離心率為2
從而c=4，a=2，b=2

3

（10分）
所以求雙曲線方程為：

y2

4

-

x2

12

=1（14分）

點評：本題考查橢圓雙曲線的標準方程，以及簡單性質的應用，用待定系數法求出橢圓標準方程是解題的關鍵．