Question

已知ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，AD=AB=1，BC=2，PA⊥平面ABCD，
（1）若異面直線PC與BD所成的角為θ，且cosθ=

3

6

，求|PA|；
（2）在（1）的條件下，設E為PC的中點，能否在BC上找到一點F，使EF⊥CD？
（3）在（2）的條件下，求二面角B-PC-D的大小．

Answer 1

分析：（1）以A為坐標原點，AD，AB，AP方向分別為x，y，z軸正方向建立空間坐標系，設|PA|=a，我們易求出異面直線PC與BD的方向向量的坐標，根據異面直線PC與BD所成的角為θ，且cosθ=

3

6

，構造關于a的方程，解方程即可求出|PA|的值；
（2）設F（x，1，0），我們分別求出直線EF和CD的方向向量，根據兩直線垂直，兩方向向量的數量積為0，構造關于x的方程，解方程求出x的值，即可找到滿足條件的F點的位置．
（3）分別求出EF與PC的方向向量，根據其數量積為0，可得EF⊥PC，結合EF⊥CD由線面垂直的判定定理得EF⊥平面PCD，再由面面垂直的判定定理得平面PCB⊥平面PCD，由直二面角的定義可得二面角B-PC-D的大小．

解答：解：以A為坐標原點，AD，AB，AP方向分別為x，y，z軸正方向建立空間坐標系
（1）設|PA|=a，則P（0，0，a），C（2，1，0），B（0，1，0），D（1，0，0）
∴

PC

=(2，1，-a)，

BD

=(1，-1，0)
由已知得：cosθ=

PC • BD

| PC || BD |

=

1

2 • 5+a2

=

3

6

，即5+a²=6∴a=1（a＞0）即|

PA

=1|
（2）設能在BC上找到一點F，使EF⊥CD，設F（x，1，0），由（1）知P（1，0，0）∴E(1，

1

2

，

1

2

)，
則

EF=

(x-1，

1

2

，-

1

2

)，又有

CD

=(-1，-1，0)，∵EF⊥CD，∴

EF

•

CD

=x-1+

1

2

=0，
∴x=

1

2

，即存在點F(

1

2

，1，0)滿足要求．
（3）∵

EF

•

PC

=(-

1

2

，

1

2

，-

1

2

)•(2，1，-1)=0
∴EF⊥PC；
∵EF⊥CD且PC∩CD=C∴EF⊥平面PCD．EF?平面，
所以平面PCB⊥平面PCD，故二面角B-PC-D的大小為90°．

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，異面直線及其所成的角，直線與平面垂直的性質，其中建立恰當的空間坐標系，求出相應直線的方向向量，將空間直線夾角問題，及直線的垂直問題，轉化為向量夾角問題是解答本題的關鍵．