Question

【題目】設圓C滿足：①截y軸所得弦長為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3:1，在滿足條件①、②的所有圓中，求圓心到直線l:x-2y=0的距離最小的圓的方程．

Answer 1

【答案】解法一 設圓的圓心為P(a，b)，半徑為r，則點P到x軸，y軸的距離分別為|b|，|a|。由題設知圓P截x軸所得劣弧所對的圓心角為90°，∴圓P截x軸所得的弦長為r，故r2=2b2。 又圓P截y軸所得的的弦長為2，所以有r2=a2+1。從而得2b2-a2=1。又點P(a，b)到直線x-2y=0的距離為d=，所以5d2=|a-2b|2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1，當且僅當a=b時，上式等號成立，從而要使d取得最小值，則應有，解此方程組得或。又由r2=2b2知r=。于是，所求圓的方程是(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2。------10分

解法二 同解法一得d=，∴a-2b=±d，得a2=4b2±bd+5d2①

將a2=2b2-1代入①式，整理得2b2±4bd+5d2+1="0 " ② 把它看作b的二次方程，由于方程有實根，故判別式非負，即△=8(5d2-1)≥0，得5d2≥1。所以5d2有最小值1，從而d有最小值。將其代入②式得2b2±4b+2=0，解得b=±1。將b=±1代入r2=2b2得r2=2，由r2=a2+1得a=±1。綜上a=±1，b=±1，r2=2。由|a-2b|=1知a，b同號。于是，所求圓的方程是(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2。--------10分

【解析】

試題本題考察的是求圓的方程，圓被軸分成兩段圓弧，其弧長的比為，劣弧所對的圓心角為，設圓的圓心為，圓截軸所得的弦長為，截軸所得弦長為2，可得圓心軌跡方程，圓心到直線的距離最小，利用基本不等式，求得圓的方程．

試題解析：設圓心為，半徑為．

則到軸、軸的距離分別為和．

由題設知：圓截軸所得劣弧所對的圓心角為，故圓截軸所得弦長為．

∴（6分）

又圓截軸所得弦長為2．

∴．又∵到直線的距離為

（10分）∴．∴．

將代入上式得：．

上述方程有實根，故

，

∴．

將代入方程得．

又∴．

由知、同號．

故所求圓的方程為或．（14分）