Question

（本小題共12分）已知函數（為自然對數的底數），（為常數），是實數集 上的奇函數．（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）討論關于的方程：的根的個數；
（Ⅲ）設，證明：（為自然對數的底數）．

Answer 1

(Ⅰ) 見解析  (Ⅱ) 見解析 （Ⅲ）見解析

（I）證:令,令時
時,. ∴
∴ 即.
（II）∵是R上的奇函數 ∴ ∴
∴ ∴ 故.
故討論方程在的根的個數.
即在的根的個數.
令.注意,方程根的個數即交點個數.
對, ,
令, 得， 當時,; 當時,. ∴，
當時,；  當時,，但此時
，此時以軸為漸近線。
①當即時,方程無根;
②當即時,方程只有一個根.
③當即時,方程有兩個根.
（Ⅲ）由(1)知,  令,
∴,于是,
∴
.