【題目】已知函數
，其中
．
（Ⅰ）當
時，求曲線
在點
處的切線方程；
（Ⅱ）若函數
有唯一零點，求
的值．
【答案】（Ⅰ）
;（Ⅱ）
【解析】
(Ⅰ)
時,求出導函數,求出
,將
代入到中得到曲線
在點
處的切線的斜率,求出
,然后利用點斜式求出曲線在點處的切線方程.
（Ⅱ）先利用導數證明函數在R上有唯一零點
,且函數
在
上遞,在
上遞增,所以函數 在 處取得最小值
,再根據函數有唯一零點可得
,然后根據
以及聯立消去
,得到
,然后構造函數
,通過導數的方法可得
有唯一零點,且
,最后將
代入到可以解得的值.
（Ⅰ）當時，
.
.
.
又
，
曲線在點
處的切線方程為
，即.
（Ⅱ）
.
令
，則
.
，函數
在
僅有一個零點.
存在
，使得
.
即存在滿足
時，
.
當
，即
時，
.
在
上單調遞減；
當
，即
時，
.
在
上單調遞增.
又當
時，
，
，
；
當
時，
，
.
當
時，
，當時，
.
由題意，函數
有唯一零點時，必有
.①
又
，②
由①②消去，得.
令.
，
單調遞增.
又
，
方程有唯一解.
將代入，解得
.
當函數有唯一零點時，的值為.
口算小狀元口算速算天天練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在新冠肺炎疫情的影響下，南充高中響應“停課不停教，停課不停學”的號召進行線上教學，高二年級的甲乙兩個班中，需根據某次數學測試成績選出某班的5名學生參加數學競賽決賽，已知這次測試他們取得的成績的莖葉圖如圖所示，其中甲班5名學生成績的平均分是83，乙班5名學生成績的中位數是86．
（1）求出x，y的值，且分別求甲乙兩個班中5名學生成績的方差
，并根據結
果，你認為應該選派哪一個班的學生參加決賽？
（2）從成績在85分及以上的學生中隨機抽取2名．求至少有1名來自甲班的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列
的前
項和為
，且
，
.
（1）若數列是等差數列，且
，求實數
的值；
（2）若數列滿足
（
），且
，求證：是等差數列；
（3）設數列是等比數列，試探究當正實數滿足什么條件時，數列具有如下性質
：對于任意的
（），都存在
，使得
，寫出你的探究過程，并求出滿足條件的正實數的集合.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某企業為了檢查甲、乙兩條自動包裝流水線的生產情況，隨機在這兩條流水線上各抽取
件產品作為樣本稱出它們的質量（單位：毫克），質量值落在
的產品為合格品，否則為不合格品．如表是甲流水線樣本頻數分布表，如圖是乙流水線樣本的頻率分布直方圖．
產品質量/毫克 | 頻數 |
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（Ⅰ）以樣本的頻率作為概率，試估計從甲流水線上任取
件產品，求其中不合格品的件數
的數學期望．
甲流水線 | 乙流水線 | 總計 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
總計 |
（Ⅱ）由以上統計數據完成下面
列聯表，能否在犯錯誤的概率不超過
的前提下認為產品的包裝合格與兩條自動包裝流水線的選擇有關？
（Ⅲ）由乙流水線的頻率分布直方圖可以認為乙流水線生產的產品質量
服從正態分布
，求質量落在
上的概率．
參考公式：
參考數據：
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|
參考公式：
，其中
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
：
(
)，定點
，
，其中
為正實數.
（1）當
時，判斷直線
與圓的位置關系；
（2）當
時，若對于圓上任意一點
均有
成立(
為坐標原點)，求實數
的值；
（3）當
時，對于線段上的任意一點，若在圓上都存在不同的兩點
，使得點
是線段
的中點，求實數
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知三棱錐
（如圖1）的平面展開圖（如圖2）中，四邊形
為邊長為
的正方形，△ABE和△BCF均為正三角形，在三棱錐
中：
(I)證明：平面
平面
;
(Ⅱ)求二面角
的余弦值；
(Ⅲ)若點
在棱
上，滿足
， 
，點
在棱
上，且
，求
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知復數z滿足|z|
，z的實部大于0，z2的虛部為2.
（1）求復數z；
（2）設復數z，z2，z﹣z2之在復平面上對應的點分別為A，B，C，求（
）
的值.
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