Question

已知{a_n}是各項都為正數的等比數列,數列{b_n}滿足b_n=［lga₁+lga₂+lga₃+…+lg(ka_n)］，問是否存在正數k,使得{b_n}成等差數列？若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.

Answer 1

k=1時,{b_n}成等差數列.

假設存在正數k,使得{b_n}成等差數列.
設數列{a_n}的公比為q,則a_n=a₁qⁿ-1.
而b_n=［lga₁+lga₂+lga₃+…+lg(ka_n)］
=lg(ka₁·a₂·a₃·…·a_n)
=lg(k·a₁ⁿ·)
=lga₁+(n-1)lg+lg.
∴b_n+1-b_n=(lga₁+nlg+lg)-［lga₁+(n-1)lg+lg］
=lg+lg-lg.
若{b_n}為等差數列,當且僅當lg-lg=0,
即lg=lg,=,
∴k=1.
因此當k=1時,{b_n}成等差數列.