Question

【題目】如圖，圓C與x軸相切于點(diǎn)T（2，0），與y軸正半軸相交于兩點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的下方），且|MN|=3．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)M任作一條直線與橢圓 相交于兩點(diǎn)A、B，連接AN、BN，求證：∠ANM=∠BNM．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)圓C的半徑為r（r＞0），依題意，圓心坐標(biāo)為（2，r）． ∵|MN|=3，∴ ，解得 ，
故圓C的方程為 ．
（Ⅱ）把x=0代入方程 ，解得y=1或y=4，
即點(diǎn)M（0，1），N（0，4）．
①當(dāng)AB⊥y軸時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性可知∠ANM=∠BNM．
②當(dāng)AB與y軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線AB的方程為y=kx+1．
聯(lián)立方程 ，消去y得，（1+2k2）x2+4kx﹣6=0．
設(shè)直線AB交橢圓Γ于A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）兩點(diǎn)，
則 ， ．
∴ =0，
∴∠ANM=∠BNM．
綜上所述，∠ANM=∠BNM．

【解析】（Ⅰ）設(shè)圓C的半徑為r（r＞0），依題意，圓心坐標(biāo)為（2，r），根據(jù)|MN|=3，利用弦長(zhǎng)公式求得r的值，可得圓C的方程．（Ⅱ）把x=0代入圓C的方程，求得M、N的坐標(biāo)，當(dāng)AB⊥y軸時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性可知∠ANM=∠BNM，當(dāng)AB與y軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線AB的方程為y=kx+1，代入橢圓的方程，利用韋達(dá)定理求得KAB+KBN=0，可得∠ANM=∠BNM．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程：；圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程．