Question

（本題滿分14分）
（理）（1）證明不等式：
（2）已知函數在上單調遞增，求實數的取值范圍.
（3）若關于x的不等式在上恒成立，求實數的最大值.
（文）已知函數的導函數的圖象關于直線x=2對稱.
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）若在處取得極小值，記此極小值為，求的定義域和值域.

Answer 1

理：（1）見解析；（2）；（3）.
文：（1）（2）定義域為，值域為

(1)兩邊都有變量x在證明時，如果可看作兩個函數，但不能做出其圖像的情況下，一般考慮構造成一個函數通過研究最值來解決，本小題顯然可以構造,然后利用導數研究其最值即可證明.
(2)本小題解決的思路是在上單調遞增轉化為
在上恒成立問題解決.
(3)本小題可先把參數與變量分離，基本思路是由已知在上恒成立，∵，
當x>0時，易得恒成立.
然后再研究的最小值即可.
文：（1）由于f(x)的導函數是二次函數，所以x=2就是其導函數的對稱軸，據此可求出b值.
（II）由（Ⅰ）知，，
.   
然后再分別討論當c  12和c<12的極值情況，從而確定其極小值，由于極小值g(t)是關于t的函數，然后再利用函數求定義域和值域的方法求解即可
解：（理）（1）令，
則
∴g(x)在上單調遞減，即g(x)<g(0),從而成立
……………4分
（2）由，當x=0或時，，由已知得在上恒成立，∴，又f(x)在有意義，∴a≥0，綜上：；
………………8分
（3）由已知在上恒成立，∵，
當x>0時，易得恒成立，……10分
令得恒成立，由（2）知：令a=2得：（1＋x）>,∴；                        …………12分
由（1）得：當時，；∴當時，不大于；∴；
當x=0時，b∈R，綜上：                             ………14分
解：（文）（Ⅰ）.因為函數的圖象關于直線x=2對稱，所以，于是   ………………2分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
.                   ………4分
（ⅰ）當c  12時，，此時無極值.             ………6分
（ii）當c<12時，有兩個互異實根,.不妨設＜，則＜2＜.
當x＜時，，在區間內為增函數；
當＜x＜時，，在區間內為減函數;
當時，，在區間內為增函數.   
所以在處取極大值，在處取極小值.         ………10分
因此，當且僅當時，函數在處存在唯一極小值，所以.
于是的定義域為.由得.
于是   .       ………12分
當時，所以函數在區間內是減函數，故的值域為                                     ………14分