Question

【題目】已知雙曲線的漸近線方程為，一個焦點為．

（1）求雙曲線的方程；

（2）過雙曲線上的任意一點，分別作這兩條漸近線的平行線與這兩條漸近線得到四邊形，證明四邊形的面積是一個定值；

（3）設直線與在第一象限內與漸近線所圍成的三角形繞著軸旋轉一周所得幾何體的體積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）由焦點坐標和漸近線方程求得,進而求得雙曲線方程；

（2）由題可知漸近線互相垂直,則四邊形為矩形,則,利用點到直線距離公式求解即可；

（3）三角形繞著軸旋轉一周所得幾何體是一個以為半徑,為高的圓錐,進而求解即可

解：（1）設雙曲線方程為,

,漸近線方程為,

,且,

,

雙曲線的方程為

（2）漸近線方程為,

兩條漸近線互相垂直,

四邊形為矩形,

設,則,

,

四邊形的面積是一個定值

（3）設在第一象限內與漸近線的交點N的橫坐標,三角形繞著軸旋轉一周所得幾何體是一個以為半徑,為高的圓錐,

因為,所以體積等于