Question

（本題滿分13分）
已知f(x)=ln(1+x²)+ax(a≤0)。
（1）討論f(x)的單調性。
（2）證明：（1+）（1+）…（1+）＜e （n∈N*，n≥2,其中無理數e=2.71828…）

Answer 1

解：（理）（1）f′(x)= +a=………………………………1分
(i)若a=0時，f′(x)= ＞0x＞0，f′(x)＜0x＜0
∴f(x)在(0,+∞)單調遞增，在（-∞，0）單調遞減。   …………………………3分
（ii）若時，f′(x)≤0對x∈R恒成立。
∴f(x)在R上單調遞減。                          ……………………………6分
(iii)若-1＜a＜0，由f′(x)＞0＞0＜x＜
由f′(x)＜0可得x＞或x＜
∴f(x)在[，]單調遞增
在（-∞，]，[上單調遞減。
綜上所述：若a≤－1時，f(x)在（－∞，+∞）上單調遞減。………………………………7分
（2）由（1）當a=－1時，f(x)在（-∞，+∞）上單調遞減。
當x∈（0，+∞）時f(x)＜f(0)
∴ln（1+x²）－x＜0 即ln（1+x²）＜x
∴ln[（1+）（1+）……(1+)]
=ln[（1+）（1+）+…ln（1+）＜++…+
＜=1-+-+…+=1-＜1
∴（1+）（1+）……(1+)＜e  …………………………………………13分