Question

已知函數．
（1）求的單調區間和極值；
（2）設，，且，證明：.

Answer 1

（1）單調增區間是，單調減區間是；極小值，無極大值。（2）詳見解析

解析試題分析：（1）先求導，再令導數大于0的函數的增區間，令導數小于0得函數的減區間，根據函數的單調性可得函數的極值。（2）即證，不妨設，問題可轉化為，令，令，用導數求其最值，證其最大值小于0即可。
試題解析：（1）定義域為

令則 ∴；令則 ∴
∴的單調增區間是，單調減區間是
_極小值，無極大值
（2）證明：不妨設，



兩邊同除以得，
令，則，即證：
令

令，
， 在上單調遞減，所以
即，即恒成立
∴在上是減函數，所以
∴得證
所以成立
考點：利用導數研究函數的單調性和極值最值問題。