Question

（2012•莆田模擬）已知函數f（x）=asinx-x+b（a＞0，b＞0）．
（1）求證：函數f（x）在區間[0，a+b]內至少有一個零點；
（2）若函數f(x)在x=

π

3

處取得極值．
（i）不等式f（x）＞sinx+cosx對任意x∈[0，

π

2

]恒成立，求b的取值范圍；
（ii）設△ABC的三個頂點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）在函數f（x）的圖象上，且-

π

3

＜x1＜x2＜x3＜

π

3

，求證：f（sin²A+sin²C）＜f（sin²B）．

Answer 1

分析：（1）利用f（0）=b＞0，f（a+b）=asin（a+b）-a-b+b=a[sin（a+b）-1]≤0，可得函數f（x）在（0，a+b]內至少有一個零點；
（2）根據函數f(x)在x=

π

3

處取得極值，可得a=2
（i）不等式f（x）＞sinx+cosx等價于b＞cosx-sinx+x對于任意x∈[0，

π

2

]恒成立，構造函數g（x）=cosx-sinx+x，求函數的最大值，即可求b的取值范圍；
（ii）確定函數f（x）在（-

π

3

，

π

3

）上是單調遞增函數，從而可得y₁＜y₂＜y₃，利用向量的夾角公式、余弦定理、正弦定理可得sin²A+sin²C＜sin²B，再利用函數f（x）在（-

π

3

，

π

3

）上是單調遞增函數，即可證得結論．

解答：（1）證明：∵函數f（x）=asinx-x+b，a、b均為正的常數
∴f（0）=b＞0，f（a+b）=asin（a+b）-a-b+b=a[sin（a+b）-1]≤0
∴函數f（x）在（0，a+b]內至少有一個零點；
（2）解：f′（x）=acosx-1，
∵函數f(x)在x=

π

3

處取得極值，∴f′（

π

3

）=0
∴acos

π

3

-1=0，∴a=2
（i）不等式f（x）＞sinx+cosx等價于b＞cosx-sinx+x對于任意x∈[0，

π

2

]恒成立
設g（x）=cosx-sinx+x，∴g′（x）=-sinx-cosx+1=-

2

sin（x+

π

4

）+1
∵x∈[0，

π

2

]，∴x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，∴sin（x+

π

4

）∈[

2

2

，1]
∴

2

sin（x+

π

4

）∈[1，

2

]
∴g′（x）≤0
∴g（x）=cosx-sinx+x在[0，

π

2

]上是單調減函數，且最大值為g（0）=1
∴b＞1；
（ii）證明：當x∈（-

π

3

，

π

3

）時，cosx＞

1

2

，∴f′（x）=2cosx-1＞0，
∴函數f（x）在（-

π

3

，

π

3

）上是單調遞增函數
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）在函數f（x）的圖象上，且-

π

3

＜x1＜x2＜x3＜

π

3

，
∴y₁＜y₂＜y₃
∵cos∠ABC=

BA • BC

| BA || BC |

=

(x1-x2)(x3-x2)+(y1-y2)(y3-y2)

| BA || BC |

∴cos∠ABC＜0
由余弦定理，cos∠ABC=

|AB|2+|BC|2-|AC|2

2|AB||BC|

＜0
∴|AB|²+|BC|²＜|AC|²
由正弦定理可得：sin²A+sin²C＜sin²B
∴sin²A+sin²C、sin²B∈（0，1）⊆（-

π

3

，

π

3

）
∵函數f（x）在（-

π

3

，

π

3

）上是單調遞增函數
∴f（sin²A+sin²C）＜f（sin²B）．

點評：本題考查函數的零點，考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．