Question

設和是函數的兩個極值點,其中.
（1）求的取值范圍;
（2）若為自然對數的底數),求的最大值.

Answer 1

（1）；（2）

試題分析：（1）先求，由已知條件得，方程=0有兩個不等的正根，則有，解得，結合韋達定理將變形為關于變量的函數表達式，，進而求值域得的取值范圍；（2）將變形為，為了減少參數，將代入得，
，為了便于求值域，利用，繼續變形為
，設，通過還原，將表示為變量的函數，進而求值域即可．
（1）函數的定義域為,.
依題意,方程有兩個不等的正根,
故有,解得,且,
所以,
，
又,所以的取值范圍是.          6分
（2）由,

令,所以,
又因為,
所以,可化為
,因為,所以得,求在上最大值,
由,所以在上遞減,
所以,故的最大值為.              13分