Question

【題目】對于無窮數列，若正整數，使得當時，有，則稱為“不減數列”.

(1)設，均為正整數，且，甲:為“不減數列”，乙:為“不減數列”.試判斷命題:“甲是乙的充分條件”的真假，并說明理由;

(2)已知函數與函數的圖象關于直線對稱，數列滿足，，如果為“不減數列”，試求的最小值;

(3)對于（2）中的，設，且.是否存在實數使得為“不減數列”?若存在，求出的取值范圍;若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)假，理由見解析;(2)2;(3)

【解析】

(1)根據“不減數列”定義直接判斷充要關系，即得結果;

(2)先求，再探求的最小值，最后利用作差法證明；

(3)先結合（2）化簡，，再根據新定義得不等式，并參變分離，根據奇偶性分類討論，結合數列單調性求最值，即得結果.

(1)對于甲:為“不減數列”，

對于乙:為“不減數列”，

∵設，均為正整數，且，

∴乙甲，顯然甲乙，

因此，甲是乙的必要條件，從而“甲是乙的充分條件”是假命題.

(2)∵函數與函數的圖象關于直線對稱，

∴函數為函數的反函數，且.

由，得.

由得，

假設，則，

即當時，.

于是，即.

亦即:數列，且，

因此，的最小值為2.

(3)假設存在實數使得為“不減數列”.

∵，∴是單調遞增數列.

∵，且，

∴，

又，故當時，

，即.

若為大于或等于4的偶數，則有恒成立，

注意到數列關于遞減，

所以，，即;

若為大于或等于3的奇數，則有恒成立，

注意到數列關于遞增，

所以，，即;

又當時，

由，得.

綜上所述，存在實數，且，

使得為“不減數列”，

即所求的取值范圍是.