Question

【題目】已知，是動點(diǎn)，以為直徑的圓與圓：內(nèi)切.

（1）求的軌跡的方程；

（2）設(shè)是圓與軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，求證：三點(diǎn)共線.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）設(shè)出，根據(jù)相切得出關(guān)于的方程，由方程對應(yīng)的幾何意義得出的軌跡的方程；

（2）設(shè)出，，解出點(diǎn)坐標(biāo)，從而得出的坐標(biāo)，設(shè)過點(diǎn)的直線并與橢圓聯(lián)立方程組，借助韋達(dá)定理進(jìn)行化簡、證明.

解：（1）設(shè)，

則的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，

因?yàn)閳A與圓內(nèi)切，點(diǎn)在圓內(nèi)，

所以，

即，

整理得，

設(shè)，則，

即的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓.

由，，

得，

所以的方程為.

（2）設(shè)，.

因?yàn)?/span>是圓與軸的交點(diǎn)，不妨設(shè)，，

則.

因?yàn)橹本�的方程為，

所以，則.

依題意，

因?yàn)橹本�過，斜率不為0，

故可設(shè)其方程為，

由

消去并整理得，

則，，

因?yàn)?/span>

，

所以，

故三點(diǎn)共線.