Question

【題目】如圖，四棱錐，，，，為等邊三角形，平面平面，為中點.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）證明及，即可證明：平面，問題得證。

（2）建立空間直角坐標系，由（1）得為平面的法向量，求得平面的法向量為，利用空間向量夾角的數量積表示即可求得二面角的余弦值.

（1）證明：因為，，

所以，

又平面平面，且平面平面，

所以平面.

又平面，所以，

因為為中點，且為等邊三角形，所以.

又，所以平面.

（2）取中點為，連接，因為為等邊三角形，所以，

因為平面平面，所以平面，

所以，由，，

可知，所以.

以中點為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

所以，，，，，

所以，，

由（1）知，為平面的法向量，

因為為的中點，

所以，

所以，

設平面的法向量為，

由，得，

取，則.

所以 .

因為二面角為鈍角，

所以，二面角的余弦值為.