Question

【題目】如圖，在四面體中，平面，.，.M是的中點，P是的中點，點Q在線段上，且.

（1）證明：；

（2）若二面角的大小為60°，求的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

(1)以的中點為原點建立空間直角坐標系，設出C的坐標，然后算出和的坐標，證明即可；

(2)算出平面的一個法向量，利用二面角的大小為60°求出C的坐標即可.

（1）證明：如圖，取的中點O，以O為原點，，所在射線y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標系.

由題意知

設點C的坐標為，

因為，

所以

因為點M為的中點，故

又點P為的中點，故

所以，

所以.

（2）解：設為平面的一個法向量

由，

知

取，得.

又平面的一個法向量為，于是

即.①

又，所以，

故

即.②

聯立①②，解得（舍去）或.

所以.

又是銳角，所以.