Question

【題目】已知橢圓C：(a>b>0)的焦點F與拋物線E：y2＝4x的焦點重合，直線x－y＋＝0與以原點O為圓心，以橢圓的離心率e為半徑的圓相切．

(Ⅰ)直線x＝1與橢圓交于不同的兩點M，N，橢圓C的左焦點F1，求△F1MN的內切圓的面積；

(Ⅱ)直線l與拋物線E交于不同兩點A，B，直線l′與拋物線E交于不同兩點C，D，直線l與直線l′交于點M，過焦點F分別作l與l′的平行線交拋物線E于P，Q，G，H四點．證明：

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)見解析.

【解析】試題分析：(Ⅰ)利用條件得橢圓方程，將x＝1代入橢圓得M，N坐標，求出△F1MN的周長和面積，進而得內切圓半徑；

(Ⅱ)設出直線方程與橢圓聯立，利用韋達定理結合弦長公式表示弦長，進而化簡運算即可證明.

試題解析：

(Ⅰ) 依題意，得c＝1，e＝＝，

即＝，∴a＝2，∴b＝，∴所求橢圓C的方程為＋＝1.

直線l的方程為x＝1，得M，N，

設△F1MN的內切圓的半徑為R，

則△F1MN的周長＝4a＝8，S△F1MN＝ (|MN|＋|F1M|＋|F1N|)R＝4R.

又因為S△F1MN＝3＝4R，∴R＝，所求內切圓的面積為π.

(Ⅱ)設直線l和l′的方程分別為x＝k1y＋m1，x＝k2y＋m2，

設A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，

由方程組得

y2－4k1y－4m1＝0　①

方程①的判別式Δ>0，得4k12＋4m1>0.

由①得y1＋y2＝4k1，y1y2＝－4m1，

由方程組得

y2－4k2y－4m2＝0　②

方程②的判別式Δ>0，得4k22＋4m2>0.

由②得y3＋y4＝4k2，y3y4＝－4m2.

聯立直線l與直線l′的方程可得：M點坐標為.

因為|MA|·|MB|＝(1＋k12)，代入計算得，

|MA|·|MB|＝·|(m2－m1)2＋4k1k2(m1＋m2)－4(m1k22＋m2k12)|.

同理可得

|MC|·|MD|＝(1＋k22)＝

·.

因此＝.

由于PQ，HG分別與直線l和直線l′平行，故可設其方程分別為x＝k1y＋1，x＝k2y＋1.

由方程組得

y2－4k1y－4＝0.�、�

由③得yP＋yQ＝4k1，yPyQ＝－4，

因此|PQ|＝xP＋xQ＋p＝k1(yP＋yQ)＋4＝4(1＋k12)．

同理可得|HG|＝xH＋xG＋p＝k1(yH＋yG)＋4＝4(1＋k22)．

故＝.

所以＝.