Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C: (a>b>0)的離心率為,橢圓C截直線y=1所得線段的長度為.

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)動直線l:y=kx+m(m≠0)交橢圓C于A,B兩點,交y軸于點M.點N是M關于O的對稱點,⊙N的半徑為|NO|. 設D為AB的中點,DE,DF與⊙N分別相切于點E,F,求EDF的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） .(II) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）由得,由橢圓C截直線y=1所得線段的長度為,得,求得橢圓的方程為；（Ⅱ）由,解得,確定,,

結合的單調性求的最小值.

試題解析：（Ⅰ）由橢圓的離心率為，得，

又當時， ，得，

所以，

因此橢圓方程為.

（Ⅱ）設，

聯立方程，

得，

由得.（*）

且，

因此，

所以，

又，

所以

整理得 ，

因為，

所以.

令，

故，

所以 .

令，所以.

當時， ,

從而在上單調遞增，

因此，

等號當且僅當時成立，此時，

所以，

由（*）得 且.

故，

設，

則 ，

所以的最小值為，

從而的最小值為，此時直線的斜率是.

綜上所述：當， 時， 取到最小值.