Question

已知數列{a_n}的通項為an=log(n+1)(n+2)  (n∈N*)，我們把使乘積a₁?a₂?a₃…a_n為整數的n叫做“優數”，則在（1，2012]內的所有“優數”的和為（　　）

• A、1024
• B、2012
• C、2026
• D、2036

Answer 1

分析：由題意求出a₁•a₂…a_n=log₂（n+2），若使log₂（n+2）為整數，則n+2=2^k，在（1，2012]內的所有整數可求，進而利用等比數列的求和公式可求．

解答：解：∵a_n=log_n+1（n+2）
∴a₁•a₂…a_n=log₂3•log₃4…log_n+1（n+2）
=

lg3

lg2

•

lg4

lg3

•

lg5

lg4

…

lg(n+2)

lg(n+1)

=

lg(n+2)

lg2

=log₂（n+2）
若使log₂（n+2）為整數，則n+2=2^k
在（1，2012]內的所有整數分別為：2²-2，2³-2，…，2¹⁰-2
∴所求的數的和為2²-2+2³-2+…+2¹⁰-2=

4(1-29)

1-2

=2026．
故選：C．

點評：本題主要考查了對數的換底公式及對數的運算性質的應用，新定義形式的考查是近幾年高考的重要題型，屬于中檔試題．