Question

已知函數f(x)=

1

2

x-sinx，其中x∈[0，2π]，求函數f（x）的單調區間和最值．

Answer 1

分析：先求導數，因為是求出單調區間，根據函數的單調區間求出函數的最值．

解答：解：∵函數y=

1

2

（x-2sinx），∴y′=

1

2

（1-2cosx）．
令y′＜0，可得 cosx＞

1

2

．
又 x∈[0，2π]，故當x∈（0，

π

3

）或x∈（

5π

3

，2π）時，y′＜0，函數y單調遞減．
同理可得，x∈（

π

3

，

5π

3

） 時，y′＞0，函數y單調遞增．
故最小值在x=

π

3

 或x=2π處取得，
而當x=

π

3

時，函數f（x）的值等于

π-3 3

6

，當x=2π時，函數f（x）的值等于π，
故當x=

π

3

時，函數f（x）有最小值等于

π-3 3

6

．
由題意可得最大值在x=0 或x=

5π

3

處取得，
而當x=0時，函數f（x）的值等于0，當x=

5π

3

時，函數f（x）的值等于

5π+3 3

6

，
故當x=

5π

3

時，函數f（x）取得最大值等于

5π+3 3

6

．
綜上可得，當x=

π

3

時，函數f（x）有最小值等于

π-3 3

6

；
當x=

5π

3

時，函數f（x）取得最大值等于

5π+3 3

6

．

點評：本題主要考查用導數法求函數的單調區間，尤其要注意三角函數的求導公式以及函數的定義域，根據函數的單調區間求出函數的最值，屬于基礎題．