Question

已知函數f（x）=log_a（1-x）+log_a（x+3）（0＜a＜1）．
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）求函數f（x）的零點；
（3）若函數f（x）的最小值為-1，求a的值．

Answer 1

（1）要使函數有意義：則有

1-x＞0 x+3＞0

，
解之得：-3＜x＜1，
∴函數的定義域為：（-3，1）．
（2）函數可化為f(x)=loga(1-x)(x+3)=loga(-x2-2x+3)，
由f（x）=0，得-x²-2x+3=1，
即x²+2x-2=0，x=-1±

3

．
∵-1±

3

∈(-3，1)，
∴f（x）的零點是-1±

3

．
（3）函數可化為：f(x)=loga(1-x)(x+3)=loga(-x2-2x+3)=loga[-(x+1)2+4]，
∵-3＜x＜1，
∴0＜-（x+1）²+4≤4．
∵0＜a＜1，
∴loga[-(x+1)2+4]≥loga4，
即f（x）_min=log_a4，由log_a4=-1，求得a^-1=4，∴a=

1

4

．