Question

PM2.5即細顆粒物是指直徑在2.5微米以下的顆粒物，能長時間的懸浮在空氣中．PM2.5在空氣中的含量越高，代表空氣污染越嚴重．PM2.5的濃度值以每立方米的微克值來表示，我國規定空氣中PM2.5的濃度小于或等于75微克/立方米為達標．某市連續監測了一天中0～12時內PM2.5含量的變化情況，其濃度W（t）（微克/立方米）隨時刻t的變化可近似表示如下：W（t）=

5 2 (t-4)2+65                                  0≤t＜6 k(t-6)2-(t-6)+ln[(t-6)+1]+75      6≤t≤12

（1）設k=1，求這一天中0～12時內哪些時間段是達標的？
（2）已知k＞0，如果當t∈（6，12]時，PM2.5的濃度始終大于75微克/立方米，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應用

專題：應用題,不等式的解法及應用

分析：（1）根據題意得出x∈[0，6]，g（x）=x²-x+ln（x+1）+75，利用導數求解．
（2）題意g（x）=kx²-x+ln（x+1）+75＞75，?x∈[0，6]成立，利用導數求解，得出：當

1-2k

2k

≤0即k≥

1

2

時，g（x）在（0，6]單調遞增，則g（x）＞75，
即得出

1-2k

2k

＞0即k＜

1

2

時成立．

解答： 解：（1）當t∈[0，6）時，令

5

2

(t-4)2+65≤75得2≤t＜6
當t∈[6，12]時，令t-6=x，則x∈[0，6]，g（x）=x²-x+ln（x+1）+75，
g′(x)=2x-1+

1

x+1

=

2x2+x

x+1

＞0
因此，當g（x）在[0，6]上單調遞增，∴g（x）≥g（0）=75
故當2≤t≤6時，PM2.5的濃度達標
（2）由（1）及題意g（x）=kx²-x+ln（x+1）+75＞75，?x∈[0，6]成立
g′(x)=2kx-1+

1

x+1

=

2kx(x- 1-2k 2k )

x+1

所以k≥

1

2

符合要求
當

1-2k

2k

＞0即k＜

1

2

時，g（x）在(0，

1-2k

2k

)單調遞減，
則存在x∈（0，6]使g（x）＜g（0）=75，所以k＜

1

2

不符合要求
綜上可知k≥

1

2

．

點評：本題考查了基本不等式，導數，在實際問題中的運用，屬于中檔題．