Question

【題目】已知函數.

（1）若，求曲線在點處的切線方程；

（2）求函數的單調區間；

（3）設函數.若對于任意，都有成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）見解析（Ⅲ）.

【解析】試題分析：（1）代入，求導，可求出切線方程。（2）因為.又因為，的兩根>0,所以分

與與三類討論單調性。（3）由成立，即，變形.，所以只需。

試題解析：（Ⅰ）函數的定義域為.

當時，.

所以曲線在點處的切線方程為.

（Ⅱ）因為.

令，即，解得，.

（1）當，即時，

由，得或；

由，得.

所以函數的增區間為，減區間為

（2）當，即時，

由，得或；

由，得.

所以函數的增區間為，減區間為.

（3）當，即時，在上恒成立，所以函數的增區間為，無減區間.

綜上所述：

當時，函數的增區間為，減區間為；

當時，函數的增區間為，減區間為；

當時，函數的增區間為，無減區間.

（Ⅲ）因為對于任意，都有成立，

則，等價于.

令，則當時，.

因為當時，，所以在上單調遞增.

所以.

所以.

所以.