Question

已知遞增的等比數列{a_n}的前n項和為S_n，a₅=32，a₃、a₄的等差中項為3a₂．
（1）求a_n的通項公式；
（2）設b_n=

n

a2n-1

，求數列b_n的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等比數列的通項公式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）根據等比數列的通項公式、等差中項的性質，列出關于a₁、q的方程，求出a₁、q的值，代入a_n化簡；
（2）由（1）和題意化簡b_n，再利用錯位相減法求出數列b_n的前n項和T_n．

解答： 解：（1）設遞增等比數列{a_n}首項、公比為a₁、q，且q＞0，
因為a₅=32，a₃、a₄的等差中項為3a₂，
所以

a1q4=32 6a1q=a1q2+a1q3

，解得a₁=2、q=2，
則a_n=2•2^n-1=2ⁿ；
（2）由（1）得，b_n=

n

a2n-1

=

n

22n-1

，
所以T_n=

1

21

+

2

23

+

3

25

+…+

n

22n-1

，①

1

4

T_n=

1

23

+

2

25

+

3

27

+…+

n

22n+1

，②
①-②得

3

4

T_n=

1

21

+

1

23

+

1

25

+…+

1

22n-1

-

n

22n+1

=

1 2 (1- 1 4n )

1- 1 4

-

n

22n+1

=

2

3

-(

2

3

+

n

2

)•

1

22n

，
則T_n=

8

9

-

3n+4

9

•

1

22n-1

．

點評：本題考查等比數列的通項公式、前n項和公式，錯位相減法求數列的前n項和，以及方程思想，考查化簡能力．