Question

已知曲線C的方程為（2-t）x²+（3-t）y²=（2-t）（3-t），t＜3．
（1）就t的不同取值討論方程所表示的曲線C的形狀；
（2）若t=-1，過點P（4，0）且不垂直于x軸的直線l與曲線C相交于A，B兩點．
①求

OA

•

OB

的取值范圍；
②若B點關于x軸的對稱點為E點，探索直線AE與x軸的相交點是否為定點．

Answer 1

考點：曲線與方程,平面向量數量積的運算

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）分類討論，結合橢圓、雙曲線方程得答案；
（2）①設出直線方程，聯立直線方程和橢圓方程，由判別式大于0求得k的范圍，把

OA

•

OB

代入根與系數關系化為含有k的代數式，由k的范圍求得

OA

•

OB

的取值范圍；
②求出B點關于x軸的對稱點的坐標，寫出直線AE的方程，求得與x軸的交點的橫坐標，代入①的根與系數關系得答案．

解答： 解：（1）方程（2-t）x²+（3-t）y²=（2-t）（3-t），t＜3，
t＜2，可化為

x2

3-t

+

y2

2-t

=1，表示焦點在x軸上的橢圓；
t=2時，y=0，表示x軸；
2＜t＜3時，可化為

x2

3-t

-

y2

t-2

=1，表示焦點在x軸上的雙曲線；
（2）①t=-1，可化為

x2

4

+

y2

3

=1．
由題意知直線l的斜率存在，設直線l的方程為y=k（x-4），
代入橢圓方程，消去y得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0．
由△=（-32k²）²-4•（3+4k²）（64k²-12）＞0，得-

1

2

＜k＜

1

2

．
設A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），
則x₁+x₂=

32k2

3+4k2

，x₁x₂=

64k2-12

3+4k2

①，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂-4k²（x₁+x₂）+16k²=25-

87

4k2+3

，
∵-

1

2

＜k＜

1

2

，
∴25-

87

4k2+3

∈[-4，

13

4

），
∴

OA

•

OB

的取值范圍是[-4，

13

4

）；
②直線與x軸相交于定點（1，0）．
∵B，E關于x軸對稱，
∴點E的坐標為（x₂，-y₂），
直線AE的方程為y-y₁=

y1+y2

x1-x2

（x-x₁），
又y₁=k（x₁-4），y₂=k（x₂-4），
令y=0，得x=

x1y2+x2y1

y1+y2

=

2x1x2-4(x1+x2)

x1+x2-8

=1．
∴直線與x軸相交于定點（1，0）．

點評：本題主要考查了直線與橢圓的位置關系的應用，直線與曲線聯立，根據方程的根與系數的關系解題，是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點是計算量比較大，要求考生具備較強的運算推理的能力，是壓軸題．