Question

如圖所示：已知過拋物線的焦點F的直線與拋物線相交于A，B兩點。

（1）求證：以AF為直徑的圓與x軸相切；

（2）設拋物線在A，B兩點處的切線的交點為M，若點M的橫坐標為2，求△ABM的外接圓方程；

（3）設過拋物線焦點F的直線與橢圓的交點為C、D，是否存在直線使得，若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）根據題意只要證明∴以線段AF為直徑的圓與x軸相切

（2）

（3）。

【解析】

試題分析：（1）解法一（幾何法）設線段AF中點為，過作垂直于x軸，垂足為,則

 ，     2分

又∵，       3分

∴∴以線段AF為直徑的圓與x軸相切。     4分 

解法二（代數法）設,線段AF中點為，過作垂直于x軸，

垂足為，則，

∴．      2分

又∵點為線段AF的中點，∴，     3分

∴，

∴以線段AF為直徑的圓與x軸相切。     4分

（2）設直線AB的方程為，，

由 ，

∴．     5分

由，

，      6分

，故的外接圓圓心為線段的中點。

設線段AB中點為點P，易證⊙P與拋物線的準線相切，切點為點M ，

．  7分

 8分

又，

 ．     9分

（3），設，10分

則 ，設，則

       11分

將代入可得： ． ①     12分

由，

聯立可得，②     13分

聯立①②可得 ，解得．

。      14分

考點：直線與橢圓的位置關系

點評：主要是考查了直線與橢圓的位置關系的運用，屬于中檔題。