Question

【題目】已知橢圓： 經過點，焦距為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）直線與橢圓交于不同的兩點、，線段的垂直平分線交軸交于點，若，求的值.

Answer 1

【答案】(1) (2) 或.

【解析】試題分析：（1）根據題意可知，將點帶入橢圓方程后聯立方程組即可求得，即可得到橢圓得標準方程；(2) 設，線段中點坐標，由整理得： ，結合韋達定理，線段的中點坐標，由可得點坐標，再由線段的垂直平分線交軸交于點及，求得，從而求出的值.

試題解析：（1）由題意得，所以，

又點在橢圓上，

所以： ，

整理得： ，

解得： 或（舍），

∴，

∴橢圓的標準方程為： .

（2）設，線段中點坐標，

由整理得： ，

∴，

∴，

又， ，

∴，

∴，

∴線段的中點坐標為

又 ，

∴，

又，

∴，

∴點坐標為，

∴ ，

∵垂直平分，

∴，

又，

解得或（舍），

∴在中， ，

∴，

∴，

∴或.