Question

（2009•閘北區二模）設a，b∈R，且a²-ab+b²=a+b，則a+b的取值范圍為

[0，4]

．

Answer 1

分析：設a+b=t，由已知中a²-ab+b²=a+b，可得3ab=t²-t，結合基本不等式的變形（a+b）²≥4ab，我們可構造一個關于t的不等式，解不等式求出t的取值范圍，即a+b的取值范圍．

解答：解：設a+b=t，則a²-ab+b²=t²-3ab，
∵a²-ab+b²=a+b，
∴3ab=t²-t，
由于（a+b）²≥4ab，
即3t²≥4（t²-t），
即t²-4t≤0
解得0≤t≤4
故a+b的取值范圍為[0，4]
故答案為：[0，4]

點評：本題考查的知識點是基本不等式在最值問題中的應用，其中根據已知條件，利用換元法，結合基本不等式的變形（a+b）²≥4ab，構造一個關于t的不等式，是解答本題的關鍵．