Question

（本題滿分14分）已知函數(shù)（且）．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：函數(shù)在上單調(diào)遞增；
（Ⅱ）若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求t的值；
（Ⅲ）若存在x₁，x₂∈[﹣1,1]，使得，試求a的取值范圍．
注：e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。

Answer 1

解：（Ⅰ），
由于，故當(dāng)x∈時(shí)，lna＞0，a^x﹣1＞0，所以，
故函數(shù)在上單調(diào)遞增。       ………………………………………4分
（Ⅱ）當(dāng)a＞0，a≠1時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/b2/7/tc59f2.gif" style="vertical-align:middle;" />，且 在R上單調(diào)遞增，
故有唯一解x=0。
要使函數(shù) 有三個(gè)零點(diǎn)，所以只需方程 有三個(gè)根，
即，只要，解得t=2； ………………………………9分
（Ⅲ）因?yàn)榇嬖趚₁，x₂∈[﹣1,1]，使得，
所以當(dāng)x∈[﹣1,1]時(shí)，。
由（Ⅱ）知，，
。
事實(shí)上，。
記（）
因?yàn)?nbsp;
所以 在上單調(diào)遞增，又。
所以  當(dāng) x＞1 時(shí)，；
當(dāng)0＜x＜1 時(shí)，，
也就是當(dāng)a＞1時(shí)，；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，。
① 當(dāng)時(shí)，由，得，
解得 。
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由，得，
解得 。
綜上知，所求a的取值范圍為。

解析