Question

【題目】已知函數．

（1）求函數y＝f（x）的單調區間；

（2）若對于x∈（0，+∞）都有成立，試求m的取值范圍；

（3）記g（x）＝f（x）+x﹣n﹣3．當m＝1時，函數g（x）在區間[e﹣1，e]上有兩個零點，求實數n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）在（0，2m）內單調遞減，在（2m，+）內單調遞增； （2）（，+）； （3）.

【解析】

（1）首先對函數求導，令導數等于零，求得自變量的值，從而判斷出導函數在相應區間上的符號，進而得到函數的單調區間；

（2）將恒成立問題轉化為最值來處理，結合第一問的結果，判斷出函數的最小值點，從而求得函數的最小值，得到結果；

（3）將代入函數解析式，將零點問題轉化為函數圖象交點個數問題，求導研究函數單調性，求得結果.

（1），（，）.

令，解得.

可得：函數在（0，2m）內單調遞減，在（2m，+）內單調遞增.

（2）對于（0，+）都有成立（0，+），

由（1）可得：時，函數取得最小值，

.

化為：，，解得.

∴m的取值范圍是（，+）.

（3）記.

當時，函數.

函數在區間上有兩個零點函數與函數有兩個不同交點，.

可知：函數在內單調遞減，在內單調遞增.

時，函數取得最小值，.

由，.

而.

.

.

即n的取值范圍是.