Question

2002年8月，在北京召開的國際數學家大會會標如圖所示，它是由4個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中較大的銳角為θ，大正方形的面積是1，小正方形的面積是

1

25

，求角θ的正切值．

Answer 1

分析：設較大的銳角∠ABF為θ，根據大正方形的面積求出邊長AB，由小正方形的面積求出邊長EF，在直角三角形ABF中，根據銳角三角形函數定義表示出AF和FB，由大正方形面積減去小正方形得到四個直角三角形的面積，即可求出直角三角形ABF的面積，而三角形ABF的面積可以用直角邊AF和FB乘積的一半來求出，兩種方法求出的面積相等，列出關系式，根據二倍角的正弦函數公式化簡，得到sin2θ的值，利用萬能公式得出關于tanθ的方程，求出方程的解即可得到tanθ的值．

解答：解：如圖，由已知得：∠ABF=θ，(

π

4

＜θ＜

π

2

)，AB=1，EF=

1

5

，
∴AF=AB•sinθ=sinθ，BF=AB•cosθ=cosθ，（6分）
∵S_△ABF=

1

4

（S_{正方形ABCD}-S_{正方形EFGH}）=

1

4

（1-

1

25

）=

6

25

，
且S_△ABF=

1

2

AF•BF=

1

2

sinθcosθ，
∴

1

2

sinθcosθ=

6

25

，
∴sin2θ=

24

25

=

2tanθ

1+tan2θ

，
化簡得：12tan²θ-25tanθ+12=0，
解得：tanθ=

4

3

或tanθ=

3

4

（θ為較大的銳角，不合題意，舍去）（10分）
∴tanθ=

4

3

．（12分）

點評：此題考查了銳角函數定義，二倍角的正弦函數公式，以及萬能公式，本題的思路為：借助圖形，根據題意得出直角三角形ABF的面積，進而得到sin2θ的值，利用萬能公式得到關于tanθ的方程，可求出tanθ的值，同時根據θ為較大的銳角，得到tanθ的值大于1，舍去不合題意的tanθ的值．