Question

（本小題滿分14分）
已知直線上有一個動點,過點作直線垂直于軸,動點在上,且滿足
(為坐標原點),記點的軌跡為.
（1）求曲線的方程；
（2）若直線是曲線的一條切線, 當點到直線的距離最短時,求直線的方程. 

Answer 1

（1）.  (2) 或.

本試題主要是考查了軌跡方程的求解，以及直線與拋物線位置關系的綜合運用。
（1）設點的坐標為,則點的坐標為.
∵, ∴，得到關系式。
（2）直線與曲線相切,∴直線的斜率存在.
設直線的方程為,與拋物線聯立方程組，結合韋達定理和點到直線的距離公式得到結論。
(1)解:設點的坐標為,則點的坐標為.
∵, ∴. 
當時,得,化簡得.   …… 2分
當時, 、、三點共線，不符合題意，故.
∴曲線的方程為.         …… 4分
(2) 解法1:∵ 直線與曲線相切,∴直線的斜率存在.
設直線的方程為,      …… 5分
由 得.
∵ 直線與曲線相切,
∴,即.       …… 6分
點到直線的距離       …… 7分
                  …… 8分
                 …… 9分
.                                  …… 10分
當且僅當，即時，等號成立.此時.  ……12分
∴直線的方程為或.                …… 14分
解法2：利用導數求切線。