Question

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程為.(為參數)以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，點的極坐標為，直線的極坐標方程為.

（1）求的直角坐標和 l的直角坐標方程；

（2）把曲線上各點的橫坐標伸長為原來的倍，縱坐標伸長為原來的倍，得到曲線，為上動點，求中點到直線距離的最小值.

Answer 1

【答案】（1）的直角坐標：，l的直角坐標方程：.（2）

【解析】

（1）根據極坐標和直角坐標的轉化公式，即可容易求得結果；

（2）設出點坐標的參數形式，將問題轉化為求三角函數最值的問題，即可求得.

（1）因為點的極坐標為，

直線的極坐標方程為，

由，

得點的直角坐標為，

直線的直角坐標方程為.

（2）設，則由條件知點在曲線上，所以

，即，

又因為為中點，所以，

則點到直線距離為，

當時，取得最小值，

故中點到直線距離的最小值為.