Question

【題目】已知函數和函數.

（1）若曲線在處的切線過點，求實數的值；

（2）求函數的單調區間；

（3）若不等式對于任意的恒成立，求實數的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時,單調遞增區間為;

當時,單調增區間為，，單調遞減區間為；（3）2.

【解析】

(1)根據導數的幾何意義求解即可.

(2)易得,再求導分析導函數分子的根的存在情況,進而可得導函數在區間上的正負以及原函數的單調性.

(3)令,再求導分析可得在上單調遞增,可得.再分與兩種情況分析函數的單調性求解最小值即可.

解（1）∵,∴,又∵,

曲線在處的切線方程為,

∵切線過點,∴,∴.

（2）的定義域為,

,則,令.

（Ⅰ）當即時,

∴函數的單調增區間為：.

（Ⅱ）當即或時,

有兩個不等的實數根,,

當時,,,∴,

函數單調增區間為,

當時,,,

令,則或,

令,則,

∴單調遞增區間為,,單調遞減區間為.

綜上所述, 當時,單調遞增區間為;

當時,單調增區間為，，單調遞減區間為；

（3）令,

則,

記,則,所以在上單調遞增,

故,

當,,故在上單調遞增,

所以,符合題意.

當時,,故,

又在上單調遞增,所以存在唯一的實數,使得,

列表如下：

	-	0	+
		極小值

則當時,,這與恒成立矛盾.

綜上,實數的最大值為2.