Question

一種填數字彩票2元一張，購買者在卡上依次填上0～9中的兩個數字（允許重復）．中獎規則如下：
如果購買者所填的兩個數字依次與開獎的兩個有序數字分別對應相等，則中一等獎10元；
如果購買者所填的兩個數字中，只有第二個數字與開獎的第二個數字相等，則中二等獎2元；
其他情況均無獎金．
（Ⅰ）小明和小輝在沒有商量的情況下各買一張這種彩票，求他倆都中一等獎的概率；
（Ⅱ）設“購買一張這種彩票中一等獎”為事件A，“購買一張這種彩票中二等獎”為事件B，請指出事件A∪B的含義，并求事件A∪B發生的概率；
（Ⅲ）設購買一張這種彩票的收益為隨機變量ξ，求ξ的數學期望．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知本題是一個相互獨立事件同時發生的概率，小明中一等獎的概率是一個古典概型，試驗發生的所有事件由分步計數原理知共有10×10種結果，滿足條件的事件是1個，得到小明中一等獎的概率，由相互獨立事件同時發生的概率公式得到結果．
（2）事件A∪B的含義是“買這種彩票中獎”，購買一張這種彩票能夠中獎包括中一等獎或中二等獎，由第一問可知中一等獎的概率，算出中二等獎的概率，根據互斥事件的概率公式得到結果．
（3）對應不中獎、中二等獎、中一等獎，ξ的 取值可能為-2，0，8，然后求出相應的概率，列出分布列，最后根據數學期望公式進行求解即可．
解答：解：（Ⅰ）由題意知本題是一個相互獨立事件同時發生的概率，
小明中一等獎的概率是一個古典概型，
試驗發生的所有事件由分步計數原理知共有10×10種結果，
滿足條件的事件是1個，
小明（小輝）中一等獎的概率為P=0.01
由相互獨立事件同時發生的概率公式得到
∴小明，小輝都中一等獎的概率為p=0.01×0.01=0.0001
（Ⅱ）事件A∪B的含義是“買這種彩票中獎”，或“買這種彩票中一等獎或中二等獎”
顯然，事件A與事件B互斥，
所以，P（A∪B）=P（A）+P（B）=+=0.1
故購買一張這種彩票能中獎的概率為0.1．
（Ⅲ）對應不中獎、中二等獎、中一等獎，ξ的分布列如下：

ξ	-2		8
P	0.9	0.09	0.01

Eξ=-2×0.9+8×0.01=-1.72
購買一張這種彩票的期望收益為損失1.72元．
點評：本題包括古典概型，相互獨立事件同時發生和互斥事件的概率，實際上古典概型是解題的基礎，學好古典概型可以為其它概率的學習奠定基礎，同時有利于理解概率的概念，有利于計算一些事件的概率，有利于解釋生活中的一些問題．