Question

設函數，其中為常數．

（1）當時，判斷函數在定義域上的單調性；

（2）若函數的有極值點，求的取值范圍及的極值點；

（3）求證對任意不小于3的正整數，不等式都成立．

Answer 1

解：（1）由題意知，的定義域為，

    

當時， ，函數在定義域上單調遞增．

（2）①由（Ⅰ）得，當時，函數無極值點．              

②時，有兩個相同的解，

時，

時，函數在上無極值點．        

③當時，有兩個不同解，

                       

時，，

,

此時 ，隨在定義域上的變化情況如下表：

	減	極小值	增

由此表可知：時，有惟一極小值點，      

ii)   當時，0<<1

此時，，隨的變化情況如下表：

	增	極大值	減	極小值	增

由此表可知：時，]

有一個極大值和一個極小值點；                                         

綜上所述：

當且僅當時有極值點;                              

當時，有惟一最小值點；

當時，

有一個極大值點和一個極小值點

（3）由(2)可知當時，函數，

此時有惟一極小值點

且      

                   

令函數