Question

42、給出下列命題：
①如果函數f（x）對任意的x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，則函數f（x）在R上是減函數；
②如果函數f（x）對任意的x∈R，都滿足f（x）=-f（2+x），那么函數f（x）是周期函數；
③函數y=f（x）與函數y=f（x+1）-2的圖象一定不能重合；
④對于任意實數x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），且x＞0時，f′（x）＞0，g′（x）＞0，則x＜0時，f′（x）＞g′（x）．
其中正確的命題是

①②④

．（把你認為正確命題的序號都填上）

Answer 1

分析：（1）由題意可知，對任意的x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，當x₁＞x₂時，f（x₁）＜f（x₂），當x₁＜x₂時，f（x₁）＞f（x₂），可知函數隨著x的遞增而遞減，遞減而遞增，因而可知函數f（x）在R上是減函數；
（2）由題意知f（x）=-f（2+x），因而可知f（x+4）=-f（x+2）=f（x），因而可知函數的周期為4．
（3）根據函數的平移，可知函數y=f（x+1）-2先向左平移1個單位，再向上平移2個單位，存在函數f（x）=2x使得圖象可以重合．
（4）由f（-x）=-f（x）且x＞0時，f′（x）＞0，知函數f（x）關于原點中心對稱且單調遞增，由g（-x）=g（x）且x＞0時，g′（x）＞0，可知函數g（x）關于y軸對稱且先單調遞增后單調遞減，因此可判斷出x＜0時，f′（x）＞g′（x）．

解答：解：（1）由題意可知，
對任意的x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，
當x₁＞x₂時，
f（x₁）＜f（x₂），
當x₁＜x₂時，
f（x₁）＞f（x₂），
可知函數隨著x的遞增而遞減，遞減而遞增，
因而可知函數f（x）在R上是減函數，故此命題正確；
（2）由題意知f（x）=-f（2+x），
因而可知f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
因而可知函數的周期為4，故此命題正確．
（3）根據函數的平移，
可知函數y=f（x+1）-2先向左平移1個單位，再向上平移2個單位，
存在函數f（x）=2x使得圖象可以重合，故此命題錯誤．
（4）由f（-x）=-f（x）
且x＞0時，f′（x）＞0，
知函數f（x）關于原點中心對稱且單調遞增，
由g（-x）=g（x）
且x＞0時，g′（x）＞0，
可知函數g（x）關于y軸對稱且先單調遞增后單調遞減，
因此可判斷出x＜0時，f′（x）＞g′（x），故此命題正確，
故答案為：①②④．

點評：此題考查函數單調性、奇偶性和周期性的判斷方法及相關計算．