Question

給出下列命題：
①如果函數f（x）對任意x∈R，都有f（a+x）=f（a-x）（a是常數），那么函數f（x）必是偶函數；
②如果函數f（x）對任意x∈R，都有f（2+x）=-f（x），那么函數f（x）是周期函數；
③如果函數f（x）對任意x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，那么函數f（x）在R上是增函數；
④函數y=f（x）和函數y=f（x-1）+2的圖象一定不會重合．
其中真命題的序號是（　　）

A．①④

B．②③

C．①②③

D．②③④

Answer 1

分析：鑒于選擇題，可選擇逐一檢驗的方法進行判定，取特殊值，特殊函數進行判定真假．

解答：解：對于①而言，當a=1時，對稱軸為x=1，故不是偶函數，則不正確，排除A和C
對比B與D，只需判定④的真假，當f（x）=2x時，函數y=f（x）和函數y=f（x-1）+2的圖象重合，故不正確
故選B

點評：本題主要考查了函數奇偶性的判定，函數單調性的判定，以及函數的周期性，屬于基礎題．