Question

設A，B是橢圓

x2

4

+y2=1上兩個不同的點，O為坐標原點．
（1）若直線AB的斜率為-1，且經過橢圓的左焦點，求|AB|；
（2）若直線AB在y軸上的截距為4，且OA，OB的斜率之和等于2，求直線AB的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由橢圓方程求出其左焦點坐標，得到直線AB的方程，和橢圓方程聯立后利用弦長公式得答案；
（2）設出直線方程的斜截式，和橢圓方程聯立，化為關于x的一元二次方程，利用根與系數關系得到A，B的
橫坐標的和與積，代入OA，OB的斜率之和等于2求得k值，則直線AB的方程可求．

解答： 解：（1）由

x2

4

+y2=1，得a²=4，b²=1，
∴c²=a²-b²=3，則c=

3

，
橢圓的左焦點為(-

3

，0)，
則直線AB的方程為y=-（x+

3

），
聯立

y=-x- 3 x2 4 +y2=1

，得5x2+8

3

x+8=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=-

8 3

5

，x1x2=

8

5

，
∴|AB|=

1+1

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

(- 8 3 5 )2-4× 8 5

=

8

5

；
（2）設直線AB的方程為y=kx+4，
聯立

y=kx+4 x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²+32kx+60=0．
則x1+x2=-

32k

4k2+1

，x1x2=

60

4k2+1

．
kOA+kOB=

y1

x1

+

y2

x2

=

(kx1+4)x2+(kx2+4)x1

x1x2

=2k+4•

x1+x2

x1x2

=2k+4•

- 32k 4k2+1

60 4k2+1

=2k+4•

-32k

60

=2，解得k=-15．
∴l_AB：y=-15x+4．

點評：本題是直線與圓錐曲線的綜合題，考查了弦長公式的應用，體現了設而不求的解題思想方法，是中檔題．