Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中點(diǎn)．
（1）若E為A₁C₁的中點(diǎn)，求證：DE∥平面ABB₁A₁；
（2）若E為A₁C₁上一點(diǎn)，且A₁B∥平面B₁DE，求

A1E

EC1

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,直線與平面平行的性質(zhì)

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）如圖所示，取AC的中點(diǎn)F，連接EF，F(xiàn)D，平面AA₁B∥平面EFD，繼而得到DE∥平面ABB₁A₁．
（2）設(shè)D是BC的中點(diǎn)，設(shè)B₁D交BC₁于點(diǎn)F，連接EF，則平面A₁BC₁∩平面B₁DE=EF．利用

A1E

EC1

=

BF

FC1

．求出求

A1E

EC1

的值．

解答： 證明：（1）取AC的中點(diǎn)F，連接EF，F(xiàn)D，
∵D是BC的中點(diǎn)，E為A₁C₁的中點(diǎn)，
∴FD∥AB，F(xiàn)E∥A₁A
∵AA₁∩AB=A，DF∩EF=F，AA₁，AB?平面AA₁B，EF，DF?平面EFD，
∴平面AA₁B∥平面EFD，
∵DE?平面EFD，
∴DE∥AA₁B
∴DE∥平面ABB₁A₁；
（2）設(shè)B₁D交BC₁于點(diǎn)F，連接EF，則平面A₁BC₁∩平面B₁DE=EF．
∵A₁B∥平面B₁DE，A₁B?平面A₁BC₁，∴A₁B∥EF．    
∴，

A1E

EC1

=

BF

FC1

．
又∵

BF

FC1

=

BD

B1C1

=

1

2

，
∴

A1E

EC1

=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行的證明，方法是利用面面平行和線線平行，注意空間思維能力的培養(yǎng)，屬于中檔題