Question

【題目】已知拋物線的方程，焦點為，已知點在上，且點到點的距離比它到軸的距離大1.

（1）試求出拋物線的方程；

（2）若拋物線上存在兩動點（在對稱軸兩側），滿足（為坐標原點），過點作直線交于兩點，若，線段上是否存在定點，使得恒成立？若存在，請求出的坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)存在，且坐標為

【解析】

（1）由到點的距離比它到軸的距離大1，結合拋物線定義可得，從而可得結果；（2）設，結合，可得直線，直線，與聯立，利用弦長公式求得若點存在，設點坐標為，可得，時，，從而可得結果.

（1）因為到點的距離比它到軸的距離大1，由題意和拋物線定義，，所以拋物線的方程為，

（2）由題意，，

設由，得，直線，

整理可得，

直線①若斜率存在，設斜率為，與聯立得

，

，

若點存在，設點坐標為，

，

時，，

解得或（不是定點，舍去）

則點為經檢驗，此點滿足，所以在線段上，

②若斜率不存在，則，

此時點滿足題意，

綜合上述，定點為.