【題目】已知橢圓
的中心為
，左、右焦點(diǎn)分別為
、
，上頂點(diǎn)為
，右頂點(diǎn)為
，且
、
、
成等比數(shù)列.
（1）求橢圓的離心率；
（2）判斷
的形狀，并說明理由.
【答案】（1）
；（2）直角三角形，理由見解析
【解析】
（1）設(shè)橢圓的長軸、短軸、焦距分別為
、
、
，由題設(shè)可得
及
，消
得a、c齊次式，解得離心率；
（2）設(shè)橢圓
的方程為
，則
，
，
，.方法一：利用向量
，方法二：利用斜率
，方法三：利用勾股定理
，可得到
是直角三角形.
（1）設(shè)橢圓的長軸、短軸、焦距分別為、、，
則
、
、
.
由題設(shè)及，消得：
即
.
解得：或
.
又
，則.
（2）方法一：設(shè)橢圓的方程為，
則，，，.
∴
，
，
∴
，∴
，
故
，∴是直角三角形.
方法二：設(shè)橢圓的方程為，
則，，，.
∴
，
，
∴
，∴
，
故，∴是直角三角形.
方法三：由條件得：在中，
，
，
.
，
，
∴，
故，∴是直角三角形.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)橢圓
，定義橢圓
的“相關(guān)圓
”的方程為
，若拋物線
的焦點(diǎn)與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合，且橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)和其兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形.
（1）求橢圓的方程和“相關(guān)圓”的方程；
（2）若直線
與圓相切，且與橢圓交于
兩點(diǎn)，
為坐標(biāo)原點(diǎn).
①求證：
；
②求
的最大值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
的方程
，焦點(diǎn)為
，已知點(diǎn)
在上，且點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到
軸的距離大1.
（1）試求出拋物線的方程；
（2）若拋物線上存在兩動(dòng)點(diǎn)
（在對(duì)稱軸兩側(cè)），滿足
（
為坐標(biāo)原點(diǎn)），過點(diǎn)作直線交于
兩點(diǎn)，若
，線段
上是否存在定點(diǎn)
，使得
恒成立？若存在，請(qǐng)求出的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)函數(shù)
，
，其中
恒不為0.
（1）設(shè)
，求函數(shù)
在x＝1處的切線方程；
（2）若
是函數(shù)與
的公共極值點(diǎn)，求證：存在且唯一；
（3）設(shè)
，是否存在實(shí)數(shù)a，b，使得
在(0，
)上恒成立？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)a，b滿足的條件；若不存在，請(qǐng)說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】空氣質(zhì)量指數(shù)AQI是反映空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，AQI指數(shù)值越小，表明空氣質(zhì)量越好，其對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：
AQI指數(shù)值 | 0～50 | 51～100 | 101～150 | 151～200 | 201～300 | ＞300 |
空氣質(zhì)量 | 優(yōu) | 良 | 輕度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 嚴(yán)重污染 |
下圖是某市10月1日—20日AQI指數(shù)變化趨勢(shì)：
下列敘述錯(cuò)誤的是
A. 這20天中AQI指數(shù)值的中位數(shù)略高于100
B. 這20天中的中度污染及以上的天數(shù)占
C. 該市10月的前半個(gè)月的空氣質(zhì)量越來越好
D. 總體來說，該市10月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】科赫曲線是一種外形像雪花的幾何曲線，一段科赫曲線可以通過下列操作步驟構(gòu)造得到．任畫一條線段，然后把它均分成三等分，以中間一段為邊向外作正三角形，并把“中間一段”去掉，這樣，原來的條線段就變成了4條小線段構(gòu)成的折線，稱為“一次構(gòu)造”；用同樣的方法把每一條小線段重復(fù)上述步驟，得到了16條更小的線段構(gòu)成的折線，稱為“二次構(gòu)造”，…，如此進(jìn)行“
次構(gòu)造”，就可以得到一條科曲線．若要科赫曲線的長度達(dá)到原來的100倍，至少需要通過構(gòu)造的次數(shù)是（ ）．（取
）
A.15B.16C.17D.18
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，已知在算法中“
”和“
”分別表示取商和取余數(shù).為了驗(yàn)證三位數(shù)卡普雷卡爾“數(shù)字黑洞”（即輸入一個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，經(jīng)過如圖的有限次的重排求差計(jì)算，結(jié)果都為495）.小明輸入
，則輸出的
（ ）
A.3B.4C.5D.6
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知數(shù)列｛
｝的首項(xiàng)a1＝2，前n項(xiàng)和為
，且數(shù)列｛
｝是以
為公差的等差數(shù)列·
（1）求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)
，
，數(shù)列｛
｝的前n項(xiàng)和為
，
①求證：數(shù)列｛
｝為等比數(shù)列，
②若存在整數(shù)m，n(m＞n＞1)，使得
，其中
為常數(shù)，且
－2，求的所有可能值．
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