Question

【題目】已知函數，．

（1）當時，求曲線在處的切線方程；

（2）當時，求函數的最小值；

（3）已知，且任意有，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）分類討論，詳見解析；（3）.

【解析】

（1）當x＞1時，f（x）＝x3+3x﹣3，f（2）＝11．由f'（x）＝3x2+3，得f'（2）＝15．由此利用導數的幾何意義能求出y＝f（x）在x＝2處的切線方程；

（2）當a≤﹣1時，得f（x）＝x3+3x﹣3a，由f'（x）＝3x2+3＞0，得到f（x）min＝f（﹣1）＝﹣4﹣3a．當a≥1時，得f（x）＝x3﹣3x+3a，由f'（x）＝3x2﹣3≤0，得到f（x）min＝f（1）＝﹣2+3a．當﹣1＜a＜1時，f（x），由此能求出函數f（x）的最小值；

（3）當a＞0，且任意x≥1有f（x+a）﹣f（1+a）≥15a2lnx，即對任意x≥1有（x+a）3+3x﹣15a2lnx﹣（a+1）3﹣3≥0．設g（x）＝（x+a）3+3x﹣15a2lnx﹣（a+1）3﹣3，則g（1）＝0，g'（x）＝3（x+a）2+3．設h（x）＝g'（x）＝3（x+a）2+3，則h'（x）＝6（x+a）0，由此利用導數性質能求出結果．

解：（1）當時，，．由，得．

所以在處的切線方程為即．

（2）①當時，得，因為，

所以在單調遞增，所以．

②當時，得，因為，

所以在單調遞減，所以．

③當時，

由①②知：函數在單調遞減，單調遞增，所以，

綜上，當，；

當時，；

當時，．

（3）當，且任意有，

即對任意有．

設，

則，．

設，

因為，，所以，所以在單調遞增，

所以，即，

①當即時，所以恒成立，

所以在單調遞增，此時，滿足題意．

②當即時，

因為，且在單調遞增，

所以存在唯一的，使得，

因此當時；當時；

所以在單調遞減，單調遞增．

所以，不滿足題意．

綜上，．