Question

已知（x+1）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ，（其中n∈N^*）
（1）求a₀及Sn=

n

i=1

ai；
（2）試比較S_n與（n-2）2ⁿ+2n²的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）通過x=1直接求出a₀，通過x=2即可求出Sn=

n

i=1

ai的表達(dá)式；
（2）通過比較n=1，2，3，4，5時(shí)S_n與（n-2）2ⁿ+2n²的大小，猜想出二者的大小，利用數(shù)學(xué)歸納法假設(shè)n=k時(shí)成立，證明n=k+1時(shí)猜想也成立即可．

解答：解：（1）令x=1，則a₀=2ⁿ，令x=2，
則

n

i=0

ai=3n，∴S_n=3ⁿ-2ⁿ；----------------------（3分）
（2）要比較S_n與（n-2）2ⁿ+2n²的大小，即比較：3ⁿ與（n-1）2ⁿ+2n²的大小，
當(dāng)n=1時(shí)，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²；當(dāng)n=2，3時(shí)，3ⁿ＜（n-1）2ⁿ+2n²；
當(dāng)n=4，5時(shí)，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²；-----------------------------------（5分）
猜想：當(dāng)n≥4時(shí)n≥4時(shí)，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
由上述過程可知，n=4n=4時(shí)結(jié)論成立，
假設(shè)當(dāng)n=k（k≥4）n=k，（k≥4）時(shí)結(jié)論成立，即3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²，
兩邊同乘以3 得：3^k+1＞3[（k-1）2^k+2k²]=k2^k+1+2（k+1）²+[（k-3）2^k+4k²-4k-2]
而（k-3）2^k+4k²-4k-2=（k-3）2^k+4（k²-k-2）+6=（k-2）2^k+4（k-2）（k+1）+6＞0∴3^k+1＞[（k+1）-1]2^k+1+2（k+1）²
即n=k+1時(shí)結(jié)論也成立，
∴當(dāng)n≥4時(shí)，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²成立．
綜上得，當(dāng)n=1時(shí)，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²；
當(dāng)n=2，3時(shí)，3ⁿ＜（n-1）2ⁿ+2n²；當(dāng)n≥4，n∈N^*時(shí)，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²--（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查與n有關(guān)的命題，通過賦值法解答固定項(xiàng)，前n項(xiàng)和，以及數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查邏輯推理能力，計(jì)算能力，�？碱}型．