【題目】已知中心在原點O，左右焦點分別為
，
的橢圓的離心率為
，焦距為
，A，B是橢圓上兩點.
（1）若直線
與以原點為圓心的圓相切，且
，求此圓的方程；
（2）動點P滿足：
，直線
與
的斜率的乘積為
，求動點P的軌跡方程.
【答案】（1）
；（2）
（
）
【解析】
（1）根據橢圓的離心率為
，焦距為
，建立方程組，求出幾何量，可得橢圓的方程，分類討論，設直線
為：
，代入橢圓方程，利用韋達定理，結合
，可得
，根據直線與以原點為圓心的圓相切，即可求此圓的方程；
（2）利用
，確定坐標之間的關系，由直線
與
的斜率的乘積為
，可得
，即
，結合A，B在橢圓上，即可求動點P的軌跡方程.
（1）設橢圓方程為
（
），由
，解得
.
∴橢圓方程為
.
①設直線為：，
，
，
代入橢圓方程得：
.
，
，
，
，
即
，即.
∵直線與以原點為圓心的圓相切，∴圓的半徑
，則
.
∴圓的方程為；
②當直線的斜率不存在時，直線的方程為
，滿足上述方程.
綜上，所求圓的方程為：.
（2）設
，又，，由：，得
，
又直線與的斜率的乘積為，
，即.
∵A，B在橢圓上，
，
.
聯立
，消去
，
，
，
，得.
當斜率不存在時，即
，得
，
，
.
此時
.同理斜率不存在時，.
∴動點P的軌跡方程為（）
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】空氣質量AQI指數是反映空氣質量狀況指數，AQI指數值越小，表明空氣質量越好，其對應關系如表：
AQI指數值 |
|
|
|
|
|
|
空氣質量 | 優 | 良 | 輕度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 嚴重污染 |
如圖所示的是某市11月1日至20日AQI指數變化的折線圖：
下列說法不正確的是（ ）
A.這
天中空氣質量為輕度污染的天數占
B.這天中空氣質量為優和良的天數為
天
C.這天中AQI指數值的中位數略低于
D.總體來說，該市11月上旬的空氣質量比中旬的空氣質量好
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，直線
的傾斜角為
，且經過點
，以坐標原點O為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線
，從原點O作射線交
于點M，點N為射線OM上的點，滿足| 
，記點N的軌跡為曲線C．
（1）①設動點
，記
是直線的向上方向的單位方向向量，且
，以t為參數求直線的參數方程
②求曲線C的極坐標方程并化為直角坐標方程；
（2）設直線與曲線C交于P，Q兩點，求
的值
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）
，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立，則實數a的取值范圍是（ ）
A.[3，+∞）B.（3，+∞）C.（﹣∞，3）D.（﹣∞，3]
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在棱柱
中，底面
為平行四邊形，
，
，且
在底面上的投影
恰為
的中點.
（1）過
作與
垂直的平面
，交棱于點
，試確定點的位置，并說明理由；
（2）若點
滿足
，試求
的值，使二面角
為
.
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